חזרה של קביעות השנה אחרי שלוש שנים: לוח השנה וחשבונו תוך בירור שאלת המחזוריות

[1] שיטה אחרת לסימון מסתפקת בשתי אותיות בלבד, ומוותרת על האות השלישית, המסמנת את פסח. לפי השיטה המקצרת, אם נאמר על שנה מסוימת שסימנה ב"ש, לדוגמה, הרי שיש לבדוק אם היא פשוטה או מעוברת. אבל לרושמים בשלוש אותיות אין שני סימנים זהים בפשוטות ובמעוברות, ובדוגמה - יש את סימן בש"ה לשנים הפשוטות, ואת סימן בש"ז למעוברות (האות השלישית 'התקדמה' ביומיים בשנה המעוברת בגלל תוספת של חודש העיבור, 30 יום, שהשארית מהם בימות השבוע היא 2).

[2] את מספר הימים בשנה קל למצוא באמצעות האות השנייה של סימן השנה. בשנה פשוטה כסדרה, שכל חודשיה מסודרים לסירוגין, אחד מלא ואחד חסר, יש ששה חודשים מלאים וששה חסרים: 6X30 + 6X29 = 354 יום בשנה. אם מרחשון וכסלו חסרים או שלמים, נמצא שגרענו יום מכסלו או שהוספנו יום למרחשון (בהתאמה), ומספר הימים הוא 353 או 355. בשנה מעוברת נוסף חודש בן 30 יום, ולכן מספר הימים הוא 383 לשנה חסרה, 384 לשנה כסדרה, ו-385 לשנה שלמה. נמצא שיש שש אפשרויות לאורך השנה העברית.  נעיר, שמבין שש האפשרויות יש אחת שמתחלקת ל-7 ללא שארית: 385 (מעוברת שלמה). משמעות הדבר היא שכאשר יש שנה מעוברת ושלמה יחזור ראש השנה בשנה שלאחריה לאותו היום (דוגמה: התשע"א מעוברת וסימנה הש"ג, ראש שנת התשע"ב יחול גם כן ביום חמישי [וסימנה הכ"ז]).

[3] (שארית אפס משמעותה שהשנה היא ה-19 במחזור).

[4] אם נאמר שהמולד חל ביום שני בשעה 0, פירושו אור ליום שני (ראשון בערב), בשעה 6 בערב. אם נאמר שהמולד חל ביום שני בשעה 6, פירושו, חצות הלילה אור ליום שני. אם נאמר שעה 18, פירושו שני בחצות היום.

[5] לפי האמור למעלה, 793 חלקים מתוך 1080 הם 44 דקות ועוד 3 שניות ושליש.

[6] כמובן, בספרי הקדמונים לא סומנו הימים, השעות והחלקים בספרות אלא באותיות שערכן מתאים למספר הרצוי (כאן: כ"ט י"ב תשצ"ג).

[7] החשבון עלול להגיע למספרים גבוהים. אם במשבצת החלקים אנו מקבלים מספר מ-1080 ומעלה, מחלקים ומעבירים שעה למשבצת השעות כנגד כל 1080 חלקים. וכנ"ל, אם יש יותר מ-24 שעות, מחלקים ומעבירים את המנה למשבצת הימים.

[8] עיין ספרו של ר' שלום וילק, "הלוח העברי ומסלולי השמש והירח" (מהדורה שנייה, טבת התשס"ט, עמ' 83-89), שם מפורטות שיטות שונות לחישוב המולד. השיטה העשרונית לחישוב נוחה יותר (ע"ש), אבל נבחר בדרך הקלאסית, שבה היו מחשבים בעבר. להרחבה רצוי לעיין גם בספר "שערים ללוח העברי", רחמים שר-שלום (התשד"מ), שער ט (מעמ' 131. וע"ע שם עמ' 47).

[9] אם נוסיף את "שארית המחזור" על מולד של שנה מסוימת (כלומר: מולד תשרי) הידוע לנו, נקבל את המולד של 19 שנה אחריה. דוגמה, נתון מולד תשרי התש"ע 7-16-853. תוספת 2-16-595 תתן את מולד תשרי שנת התשפ"ט: 3-9-368 (יום שלישי, 9 שעות דהיינו 3 לפנות בוקר, ו-368 חלקים).

[10] שארית 0 משמעותה שהשנה היא ה-19 במחזור. אם ניקח את שנת התשנ"ז, ונחלק 5757 ב-19 נקבל 303 בדיוק. כיוון שאנו מעוניינים במולד תשרי של אותה שנה, עלינו לשים לב שעד אליו עברו 302 מחזורים ו-18 שנה.

[11] נדגים: שנת התשע"ב = 5772, חילוק ב-19 ייתן 303 ושארית 15. מתחילת המחזור עברו 14 שנה, מתוכם ג, ו, ח, יא, יד מעוברות - הרי חמש, והשאר - 9 שנים - פשוטות. 303 כפול 2-16-595 הם 606-4848-180285. 9 כפול 4-8-876 הם 36-72-7884. 5 כפול 5-21-589 הם 25-105-2945. נחבר:

[12] כאן המקום להסביר, מה המשמעות של דחיית ראש השנה? לא שנוסיף יום על חודש אלול, אלא שנערוך את הלוח של השנה הקודמת באופן שיוכל ראש השנה לחול ביום שקבענו אותו בו. האפשרויות שלנו הן: חודשי מרחשון וכסלו. מספר ימיהם נתון לשינוי, ובשעת הצורך עשוי מרחשון להתמלא או כסלו להיחסר.

[13] הדגמה לשלב 3: המולד של תשרי התשע"ב: 3-23-158. זהו מולד זקן, והיום שלמחרת - רביעי - פסול מפני לא אד"ו ראש, ולכן ראש השנה ייקבע ביום חמישי.

[14] הדגמה לשלב 4: המולד של תשרי התשע"ב: 3-23-158. זו שנה פשוטה (15 במחזור), וכשנוסיף 4-8-876 נקבל 1-7-1034, וזהו מולד תשרי התשע"ג. לפי כללי הדחיות על ראש השנה התשע"ג להידחות ליום שני, מפני לא אד"ו ראש.

[15] ובדוגמה שלנו (בהערות הקודמות), התשע"ב: האות הראשונה ה'. האות השלישית - חיסור יומיים מראש השנה הבאה (שני) - ז'. זו שנה פשוטה וההפרש בין ה' לבין ז' הוא 2, ולכן סימן השנה של שנת התשע"ב: הכ"ז.

[16] למה השנים הפשוטות מתחלקות לשלוש קבוצות? לוח ארבעה שערים תלוי בכללי הדחיות ביחס למולדות של תשרי של השנה ושל השנה שלאחריה, ושתי הדחיות האחרונות תלויות בסוג השנה: דחיית גטר"ד היא רק בשנה פשוטה, ודחיית ב' ט"ו תקפ"ט היא רק בשנה שאחרי מעוברת. ההבדל בין שנה פשוטה שאחרי פשוטה (קבוצה ב) לבין פשוטה שאחרי מעוברת (א ו-ג) ניכר היטב בלוח, בשורות 2 ו-3. דחיית גטר"ד נוהגת בכל השנים הפשוטות, וזה בא לידי ביטוי בגבול הסיום האחיד של שורה 3 (לכל הפשוטות) ובגבול ההתחלה בשורה 4. אולם קביעות השנה מושפעת גם מראש השנה הבא, ולשם כך צריך לחלק בין שנה שהבאה אחריה פשוטה ועשויה להידחות מפני גטר"ד (קבוצה א) לבין שנה שהבאה אחריה מעוברת (ב ו-ג), וזה בא לידי ביטוי בשורות 6 ו-7 בלוח.

[17] נוח יותר להשתמש בחישוב במספר אחד, במקום בשלושה מספרים (ימים, שעות וחלקים).

[18] אחד ממאפייניו של סימן הש"א הוא שפרשיות ויקהל ופקודי נפרדות, בניגוד לכל שאר השנים הפשוטות. ממאפייניו של סימן הכ"ז הוא שפרשיות בהר ובחוקותי נפרדות, בניגוד לכל שאר השנים הפשוטות (בשנים המעוברות שני הזוגות הנז' תמיד נפרדות). למרות זאת מצאנו שיש הבדל גדול בין שני זוגות הפרשיות בנתוני השכיחות (עי' במאמר "פרשת החיבור"): ויקהל ופקודי נפרדות רק בכ-40% של השנים (כל המעוברות + הש"א פשוטה), ולעומתן בהר ובחוקותי נפרדות בכ-55% (כל המעוברות + הכ"ז פשוטה). ההבדל משמעותי, והוא נעוץ בקיצוניות שבין שני סימני השנה - בנדירותו של סימן הש"א ובשכיחותו הגבוהה של סימן הכ"ז.

[19] אם שתיים מהן מעוברות ואחת פשוטה, שאלו השנים 6,7,8 או 17,18,19 במחזור הלבנה, יחסר לנו בחשבון חודש אחד, ונצטרך להוסיף עוד 1-2-793 (שארית חודש אחד, עבור חודש נוסף של שנה מעוברת שנייה) לקבל את מולד תשרי שאחר שלוש שנים אלו, וכבר תהיה השארית 2-3-974.

[20] מולד תשרי התשס"ה: 3-19-287, התשס"ח: 4-10-468.

[21] מולד תשרי התשע"א: 5-1-649, התשע"ד: 5-16-830.

[22] מולד תשרי ב'תתק"צ: 5-18-21, ב'תתקצ"ג: 6-9-202. בשנים מקבוצה א (שהגדרנו בלוח ארבעה שערים) התחום קטן משארית שלוש שנים. בשנים מקבוצות ב-ג התחום גדול משארית שלוש שנים ב-23 חלקים בלבד. זה מסביר את הנדירות הרבה של חזרת סימן זח"א אחרי שלוש שנים.

[23] מולד תשרי ג'קע"ה: 0-18-5, ג'קע"ח: 1-9-186.

[24] מולד תשרי התשס"ו: 2-16-876, התשס"ט: 3-7-1057.

[25] מולד תשרי התשס"ד: 6-10-491, התשס"ז: 0-1-672, התש"ע: 0-16-853.

[26] מולד תשרי התשפ"ח: 6-0-572, התשצ"א: 6-15-753, התשצ"ד: 0-6-934.

[27] מולד תשרי התר"ד: 1-9-384, התר"ז: 2-0-565, התר"י: 2-15-746.

[28] כבר הזכרנו שבאותו עשור היתה חזרה נדירה של סימן בח"ג אחרי שלוש שנים, ג' אלפים קע"ה-ע"ח, ולפי זה אותו עשור שָׂבַע תופעות נדירות (לפי חשבוננו).  בשנה שסימנה הש"ג 385 יום, מספר המתחלק ב-7 ללא שארית, ואם כן ראש השנה הבא יחול גם כן ביום חמישי, ולפי זה חזרה של סימן הש"ג ברווח של שלוש שנים יוצרת רצף של 8 שנים, שב-6 שנים מתוכן ראש השנה חל ביום חמישי! זו האפשרות היחידה לארוע כזה, וכפי שאנו רואים הוא נדיר ביותר.

[29] מולד תשרי התתס"ז: 3-9-973, התת"ע: 4-1-74, התתע"ג: 4-16-255, התתע"ו: 5-7-436.

[30] מולד תשרי התשס"ב: 3-4-106, התשס"ו (אחרי 4 שנים): 2-16-876 (וכבר הזכרנו שאחרי עוד 3 שנים חזר סימן גכ"ה על עצמו, בשנת התשס"ט).

[31] מולד תשרי התשע"ג: 1-7-1034, התשע"ז: 0-20-724.

[32] חזרה מלאה של סדרת שלוש שנים (כמו שהיה בשנים התשס"ד-ס"ה-ס"ו, שסימניהן זש"ג-הח"א-גכ"ה, וחזרו על עצמם בשנים התשס"ז-ס"ח-ס"ט) באה בצירוף של 3 שנים שקביעויותיהן חוזרות על עצמן. בפעם הקודמת לזו שהזכרנו זה קרה בשנים התשמ"ה-מ"ו-מ"ז, שקביעותן חזרה על עצמה בשנים התשמ"ח-מ"ט-נ' (הכ"ז-בח"ה-זש"ג). להבא זה צפוי בשנים התשפ"ח-פ"ט-צ', שתחזור על עצמה בשנים התשצ"א-צ"ב-צ"ג (זש"ג-הכ"ז-בח"ה).

[33] את התופעה מסביר שם אליהו בן פינחס, בכך שכל רצף של עשור שנים יש 6 פשוטות ו-4 מעוברות, או 7 פשוטות ו-3 מעוברות. השארית מעשור מן הסוג הראשון היא 0-19-52, כלומר - 19 שעות ו-52 חלקים בלבד. השארית מעשור מן הסוג השני היא 6-6-339, שהם שבוע פחות 17 שעות ו-741 חלקים. השארית מן הסוג הראשון היא חיובית (כ-19 שעות), ומן הסוג השני היא שלילית (כ-17- שעות). בחלוף העשורים מקזזות השאריות אלו את אלו, מפני שלפעמים יחס הפשוטות והמעוברות בעשור הוא 6-4 (הסוג הראשון), והשארית חיובית, ולפעמים היחס הוא 7-3 (הסוג השני), והשארית שלילית. לכן עשוי ראש השנה לחזור על עצמו 7 פעמים ברווחים של 10 שנים (כמובן, שלא תמיד זה קורה. תלוי בעיקר במולד של הפעם הראשונה ובמרחק שלו מקצה התחום, בהתחשב בסוג העשור). העובדה שעשור מן הסוג הראשון הוא היותר שכיח היא גורם משמעותי לכך שהתופעה אינה ממשיכה תקופות ארוכות יותר. זה תורף דבריו במאמר שם, בלוח דבר בעתו (התש"ע, עמ' 43 ואילך). עיין שם שמאריך להסביר ולהדגים (ובכלל, המאמר שווה קריאה ועשוי להסב עונג רב לקורא המתמצא).

[34] לדוגמה: שארית של 20 שנה (מחזור לבנה + שנה פשוטה) היא 0-1-391 - מעט יותר משעה ורבע בלבד! אבל חזרה כזאת אפשרית עד פעמיים ברציפות ולא יותר, כי לכל המאוחר בפעם השלישית נפגע בשנה מעוברת. התש"נ (מולד: 0-15-462, שנה י"ב במחזור) - זש"ג, התש"ע (0-16-853, י"ג במחזור) - זש"ג, ואילו התש"צ מעוברת (0-18-164, י"ד במחזור) וסימנה בח"ה.

[35] להלן נדגים.

[36] סימן השנה שם מובא בתבנית מקוצרת, שתי אותיות בלבד, ללא האות השלישית (המסמלת את פסח). תבנית מקוצרת זו מופיעה גם בטור עצמו (סי' תכח), בשולחן ערוך (שם) ועוד. עיין משנה ברורה סי' תכח ס"ק ו.

[37] במקור: ב"ש, ז"ח.

[38] הדיון לגבי השנים התרס"ב-ס"ג. נקודת השינוי היא ראש השנה התרס"ג (ממנו נגזר השינוי בקביעותה של שנת התרס"ב, שהוא הגורם לתזוזה בימי חלותו של פסח ולשינוי אורכם של מרחשון וכסלו). 247 שנה לפני כן, בשנת התט"ז (5416), חל מולד תשרי ב-5-18-219, ונדחה ראש השנה לשבת בשל מולד זקן. בשנת התרס"ג חל מולד תשרי ב-5-17-394, וראוי ראש השנה להיקבע ביום המולד, יום חמישי.

[39] כלומר: זש"ה מעוברת.

[40] כלומר: זח"א פשוטה.

[41] בפוניבז' (הערת המהדיר ב"אדר היקר").

[42] אדר היקר, איגרות האדר"ת ב.

[43] עיין: שו"ת דברי מלכיאל ד סי' יב. קובץ תורה מציון, שנה ו חוברת ג, ירושלים התרס"א. שו"ת אבני נזר או"ח ב סי' שטו. הפלס ז-ח, שם. הפסגה קובץ ז, וילנא התרס"א, עמ' 74, ושם קובץ ח עמ' 54-55. אדר היקר, איגרות האדר"ת ב. אליהו גולדברג, מאמר "אין למידים מן הכללות", קובץ אור תורה, שנה ג' חוברת ד', התרנ"ט. הרב חנוך הכהן ארנטרוי, "לוחות העיבור ותיקון בעל פרי חדש" (פורסם בשעתו ב-ISRAELIT, התר"ס), מובא בספרו עיונים בדברי חז"ל ובלשונם (מוסד הרב קוק, עמ' רנו).

[44] מקורות הובאו לעיל בהערה.

[45] הדיון לגבי השנים התש"ז-ח. נקודת השינוי היא ראש השנה התש"ח (מזה נגזר השינוי בקביעותה של שנת התש"ז, כנ"ל). 247 שנה לפני כן, בשנת התס"א (5461), חל מולד תשרי ב-2-18-487, ונדחה ראש השנה ליום שלישי בשל מולד זקן. בשנת התש"ח חל מולד תשרי ב-2-17-662, וראוי ראש השנה להיקבע ביום המולד, יום שני.

[46] עיין: קול ישראל, גליון ערב פסח התש"ז. שו"ת בני ציון ג עמ' קנח. התבונה, טבת התש"ד ושבט התש"ד. קובץ אוצרות ירושלים חלק מ"ב, ס' תקנז, מאת הרב יחיאל אברהם זילבר (ירושלים התש"ל), באורך ובפרוט.

[47] להרחבה רצוי לעיין במקורות הבאים: שערים ללוח העברי (רחמים שר-שלום, התשד"מ), עמ' 52. האנציקלופדיה העברית ערך לוח. שו"ת בני ציון ג עמ' קנט.