על תאריכים חוזרים ועל שנים זהות

סקירת מאמרו של ר' רחמים שר-שלום, שהתפרסם בבד"ד 24, אדר-א התשע"א[1]

מתי חוזרים ונפגשים תאריכי הלוח העברי עם תאריכי הלוח הנוצרי (הגרגוריאני)? זו שאלה שרבים מתעניינים בה.
הדעה הרווחת בציבור היא שבכל 19 שנה חוזרים התאריכים ומתלכדים. אלא שהניסיון מלמד שכלל זה אינו נכון תמיד. ניתן ללמוד על כך מעיון בלוחות השנה, או מתהיותיהם של ה"מאוכזבים" מכך שביום הולדתם ה-19 לא שבו התאריכים להתלכד. כמו כן, ישנם אנשים המופתעים למצוא את התאריכים מתלכדים לפעמים ביום ההולדת ה-8, ה-11, ה-30 או ה-49.

גם מי שזכה להתלכדות התאריכים ביום ההולדת ה-19, מצא אותה שלא באותו היום בשבוע שבו נולד. מאמרו הנ"ל של ר' רחמים שר-שלום עוסק בשאלות שונות המעסיקות את המתעניינים בנושא הנידון: האם תיתכן התלכדות תאריכים גם עם היום בשבוע? האם ייתכן שתהיינה שתי שנים זהות לחלוטין - התלכדות של התאריכים העברי, הנוצרי והיום בשבוע, לאורך כל השנה? ובאיזה הפרש של שנים זה עשוי לקרות?

מאמרו של ר' רחמים נכתב לאור שיטה מעניינת להשוואת תאריכים, שפותחה על ידו (בסיוע איש המחשבים ר' אהוד בר-סיני), ומובאת במהדורה החדשה של ספרו "שערים ללוח העברי"[2] ובחוברת "שער ללוח העברי"[3]; ובעקבות שני מאמרים בנושא זה שפורסמו בגיליון 20 של כתב-העת בד"ד (אייר התשס"ח)[4].

במאמר יש הבחנה בין שלושה מקרים:
  1. תאריכים שחוזרים ונפגשים - התלכדות תאריך עברי ולועזי.
  2. תאריכים זהים (גם היום בשבוע).
  3. שנים זהות.

ההפתעה, המוזכרת כבר בתחילת המאמר, היא שהסיכוי הגבוה למצוא שתי שנים זהות לחלוטין הוא דווקא במרווחים של... 220 שנה! הנתון הזה מפתיע הן מפני שהמספר אינו כפולה של 19 (מחזור העיבור של הלוח העברי), והן מפני שבתקופה ארוכה כזאת מצטבר הפער בין השנה העברית הממוצעת לבין השנה הנוצרית הממוצעת לכדי יום שלם.

1. תאריכים חוזרים
המחבר מתייחס תחילה לדעה הרווחת בציבור, שבכל 19 שנה חוזרים התאריכים העברי והנוצרי ונפגשים. אין זה כלל מחייב, וסביר למצוא הפרש של יום או יומיים (במקרים נדירים ביותר ייתכן גם הפרש של 3 ימים) בין הלוחות. הסיבה העיקרית לכך היא, שהלוח העברי והלוח הנוצרי בנויים על כללים שונים. בלוח העברי, גורם משפיע הוא כללי ארבע הדחיות, המחייבים לדחות את ראש השנה מיום המולד במקרים רבים (מוסברים באתר זה במאמר על הדחייה הנדירה ביותר, ויישומם מודגם במאמר על חזרת קביעויות). בלוח הגרגוריאני נוסף לשנה יום אחד אחת לארבע שנים, מה שנקרא "שנה כבושה", אלא-אם-כן מספר השנה הוא כפולה של 100 ולא של 400 (1800, 1900, 2100 - שנים רגילות; 1600, 2000 - שנים כבושות). כללים אלו משפיעים על אורך השנה, ולכן אי אפשר להבטיח התלכדות בין התאריכים בשני הלוחות ברווחים של 19 שנה.

מפגש של התאריכים ייתכן - אך אינו מובטח! - במרווחים של 19 שנה וכפולותיו, וכן במרווחים של 8 ושל 11 שנה, וצירופים שונים שלהם. במרווח של 3 שנים לא ייתכן כלל מפגש של תאריכים. בניגוד למצופה, דווקא במרווחים של 220 שנה ישנם סיכויים רבים להתלכדות תאריכים. לדוגמא: נמצא כי כ-75% של התאריכים בשנים התשמ"א-התש"פ חוזרים ונפגשים, עברי ולועזי, כעבור 220 שנה!

2. תאריכים זהים - עברי, גרגוריאני והיום בשבוע
כאשר המרחק בין תאריכים שחוזרים ונפגשים הוא שבועות שלמים - התאריכים יהיו זהים - הם חלים גם באותו היום בשבוע. לדוגמה, א' בתשרי התשנ"ד - יום חמישי, 16.9.1993, וכעבור 11 שנה - א' בתשרי התשס"ה - יום חמישי, 16.9.2004.

תאריכים שנמצאו זהים, כנ"ל, אינם מבטיחים ששתי השנים זהות לאורך כל השנה, כיוון שייתכן ששתי השנים אינן מאותו סוג, מפני אחת מהאפשרויות הבאות:
1. השנה הלועזית המקבילה שונה - זו שנה רגילה וזו כבושה. או-אז התאריכים זהים עד 28 ב-February או מ-1 ב-March.

2. מספר הימים במרחשון ובכסלו אינו שווה בשתי השנים. אז התאריכים זהים מאדר של אשתקד ועד סוף מרחשון או כסלו.

3. השנה העברית שונה - זו פשוטה וזו מעוברת. במקרה זה יוכלו התאריכים להיות זהים מאדר של אשתקד ועד סוף מרחשון או כסלו או עד אדר של השנה; או החל מאדר הסמוך לניסן ועד תחילת השנה הבאה.


3. שנים זהות (שנים תאומות)
כאשר התאריכים זהים - העברי, הנוצרי והיום בשבוע, לאורך כל השנה - אלו שנים זהות, ובהן חוזר על עצמו לוח השנה על כל מרכיביו - התאריכים, המועדים והפרשיות - בלי כל שינוי. הדוגמה המובאת במאמר היא הלוח לשנת התרכ"ו, הזהה ללוחות של השנים התרצ"ד, התשע"ח, התשפ"ט, התתקמ"א,, התתקצ"ח. בשנים זהות, התאריכים יהיו זהים החל מ-1 ב-March או מר"ח אדר הסמוך לניסן בשנה הקודמת, וימשיכו להיות זהים לפחות עד סוף מרחשון או כסלו או עד 28 ב-February של השנה הבאה, אם לא מעבר לכך.

דוגמה נוספת ומעניינת הם הלוחות ל-13 השנים, התשמ"א-התשנ"ג, שהלוחות של השנים התתקס"א-התתקע"ג, כעבור 220 שנה, זהים להם לחלוטין.

בניגוד למצופה, תופעת השנים הזהות נפוצה דווקא בטווח הארוך, ובעיקר במרווחים של 152, 220 ו-247 שנה. הרחבה לכך - בסוף המאמר.

שיטה חדשה להשוואת תאריכים
לשם הסבר התופעה, מציג ר' רחמים שר-שלום את שיטתו החדשה להשוואת תאריכים. בלוח העברי שש אפשרויות לאורך השנה (דובר על כך במאמרנו על סימן השנה), ובלוח הנוצרי - 2 אפשרויות. לאור זאת נוצרות 12 אפשרויות של צירופי שנים עבריות ונוצריות, 6 לשנים פשוטות ו-6 למעוברות. כל אפשרות כזאת תסומן באות אנגלית, A ועד F לשנים פשוטות, G ועד L למעוברות ('לוח 1' המופיע במאמר בבד"ד, עמ' 101).

השיטה מאפשרת הכנה פשוטה של לוח עברי-לועזי, בעזרת הנתונים המובאים במשבצת השנה: בטבלה הגדולה, המובאת במלואה במהדורה החדשה של הספר "שערים ללוח העברי" ובחוברת הנ"ל (חלק ממנה מובא במאמר בבד"ד ב'לוח 2' - עמ' 104-105) יש 6000 משבצות - משבצת לכל שנה עברית. בכל משבצת רשומה השנה העברית (באותיות) והלועזית (במספרים), סימן (קביעוּת) השנה, וקוד-מפתח (אות אנגלית) המצביע על לוח ההשוואה שמתאים לשנה זו (אחד מ-12 הלוחות, מובאים בספר ובחוברת) ובצידו מספר הימים שיש להוסיף או להחסיר מהתאריך הנוצרי שבלוח ההשוואה כדי שהלוח יהיה נכון לשנה זו.

שנים שקוד-השנה (האות האנגלית והמספר שלידה) שלהן זהה וגם סימן-הקביעוּת זהה - הן שנים זהות לחלוטין. אך מהטבלה ניתן ללמוד גם על זהות חלקית. כך, לדוגמה, שתי שנים שקוד-השנה שלהן זהה אך סימן קביעות השנה שונה, אינן שנים זהות, התאריכים העברי והלועזי חוזרים ונפגשים לאורך כל השנה, אך לא באותו היום בשבוע.

בהסבר לתופעת השנים הזהות נאמר שדרושים שלושה תנאים כדי שהשנים תהיינה זהות:
1. סימן קביעוּת זהה.

2. אות אנגלית זהה (אותו צירוף עברי-לועזי, למשל - שנה עברית פשוטה וחסרה ולועזית רגילה, צירוף המסומן באות E).

3. פסח בשתי השנים חל באותו תאריך לועזי.

אחרי 8, 19 או 38 שנה התאריכים העברי והלועזי יכולים להיפגש, אבל לעולם לא תהיינה שנים זהות ולא תהיה התלכדות גם עם היום בשבוע, כי לא מתמלאים שלושת התנאים הנ"ל.

אבל בהפרשים של 11 שנה, או בכפולות אחרות של 19 עם צירופים של 11 ו-8 או בלעדיהם, תיתכנה שנים זהות לחלוטין. לדוגמה הובאו והודגמו המרווחים הבאים: 11, 57, 68, 84, 95, 125, וגם במרווחים גדולים כמו 152 (בטווח של 304 שנים, כמובא במאמר, נמצאו 53 זוגות של שנים זהות במרווח זה - כ-35%), 220 (בטווח של 440 שנה אותרו 107 זוגות שנים זהות - למעלה מ-48%!), ו-247 (מה שנקרא "עיגול דרב נחשון" או "עיגול רמ"ז". בטווח של 494 שנה נמצאו 48 זוגות שנים זהות - כמעט 20%).

למה 220?
220 אינו כפולה של 19, אלא צירוף של 11 מחזורים של 19 שנה + 11 שנים. כיוון שכך, ב-220 שנה אין מחזוריות קבועה של שנים מעוברות. ב-220 שנה יש, בדרך-כלל, 81 שנים מעוברות, אך אם מתחילים לספור בשנה ה-17 למחזור הלבנה מוצאים בהן 82 מעוברות. יש לציין גם כי השנה העברית הממוצעת ארוכה בכ-6 דקות ורבע מהשנה הגרגוריאנית הממוצעת, ובשל כך בכל 220 שנה בקירוב אמורים התאריכים של שני הלוחות להתרחק זה מזה בשיעור ממוצע של יממה אחת.

 מה איפוא גורם לתאריכים לחזור על עצמם בריכוז גבוה כל כך, דווקא ברווחים של 220 שנה?

שלושת התנאים שלעיל מתקיימים כאן במקרים רבים:
1. על-פי רוב, המולדות במרווח שנים זה הם קרובים, ולכן גם קביעויות השנים זהות (לעיון בכלל זה, ולאופן קביעת השנים, מומלץ המאמר על חזרת קביעות בכל שלוש שנים).

2. 220 מתחלק ב-4 ללא שארית, ולכן זו תקופה שסוגרת מחזורים שלמים של שנים כבושות בלוח הנוצרי.

3. הזכרנו שתקופה של 220 שנה בלוח העברי מורכבת מ-11 מחזורים של 19 שנה + 11 שנה. עוד הזכרנו, שבמחזור של 19 שנה אורכה הממוצע של שנה עברית גדול מעט מאורכה הממוצע של שנה נוצרית. לעומת זאת, ב-11 שנים, שמתוכן 4 מעוברות, השנה העברית הממוצעת קצרה מעט מהשנה הנוצרית הממוצעת. אשר על כן, צירוף של 11 שנים ל-11 מחזורי לבנה מאזן במידת מה את מידת השנה השמשית בלוח העברי ואת ההפרש בין הלוחות בנקודה זו, ואורך השנה הממוצעת ב-220 שנה עבריות (שבהן 81 מעוברות) קרוב יותר לשנה הממוצעת בלוח הגרגוריאני.

הנקודה החשובה ביותר במאמר - מציין ומדגיש ר' רחמים שר-שלום במכתבו אלי (נקודה שלא הודגשה מספיק במאמר, כנראה בשל היותה תיאורטית לעת עתה) - שבאמצעות הכנסת "מחזור קטן" של 11 שנים (שבהן 4 מעוברות) אחרי 17 או 18 מחזורים 'רגילים' של 19 שנה - ניתן יהיה להשיג דיוק רב באורך השנה השמשית הממוצעת בלוח העברי ולפתור את בעיית התרחקות הפסח מחודש האביב. הצעה זו מביא ר' רחמים שר-שלום בשמו של ר' צבי הירש יפה, מתמטיקאי וחוקר הלוח, בספרו "קורות חשבון העיבור"[5], והיא מוסברת בעזרת תרשים בספר "שערים ללוח העברי", עמ' 153.

לסיום נשוב ונציין שמאמר זה, המאיר את בעיית אורך השנה העברית הממוצעת (השנה השמשית) ביחס לשנה השמשית בלוח הלועזי, טומן בחובו את אחד הפתרונות המוצעים למניעת התרחקות הפסח מחודש האביב. הבעיה של התרחקות פסח מחודש האביב באה לידי ביטוי בתאריך הגרגוריאני שבו חל פסח לאורך השנים. מהמאמר שעוסק בהשוואת התאריכים בשני הלוחות עולה שיש פתרון פשוט לבעיה מבלי לגרום לשינויים בכללי היסוד של הלוח. רצ"ה יפה סבור שההצעה להוסיף לפי הצורך מחזור קטן של 11 שנים הייתה למעשה הצעתם של חכמי העיבור, וחכמי העיבור המאוחרים לא התייחסו אליה בכובד ראש ולכן נשכחה. את דבריו בנושא זה מסיים ר' רחמים במבט קדימה: "חשוב שהדברים יהיו כתובים בשביל הדורות הבאים כדי שבבוא העת יוכלו לדון בה באופן מעשי".

_______________________________________________________
[1]ר' רחמים שר-שלום, "על תאריכים חוזרים ועל שנים זהות: בעקבות שיטה חדשה להשוואת תאריכים עבריים ולועזיים". פורסם ב"בד"ד - בכל דרכיך דעהו", כתב-עת לענייני תורה ומדע, בהוצאת אוניברסיטת בר-אילן (עורך: פרופ' עלי מרצבך). אחרי פרסום סקירה זו עלה לאתר 'דעת' המאמר 'התאריך הלועזי והשימוש בו בלוח השנה היהודי', מאת ר' רחמים שר-שלום, בפורמט PDF, בכתובת:  http://www.daat.co.il/daat/ktav_et/maamarim/sarsakomtaarich.pdf.

[2]"שערים ללוח העברי", ר' רחמים שר-שלום, נתניה התשס"ט (240 עמודים). על הספר כתב הרב יואל קטן: "...אין ערוך לחשיבות הספר 'שערים ללוח העברי' ולתועלת שיש בו ללומד, לחוקר ולכל מי שמתעניין בלוח השנה היהודי; זהו אוצר בלום שראוי להימצא ממש בכל בית" ('נתקבלו במערכת', 'המעין' טבת התש"ע [נ,ב], עמ' 104-105).

[3]בחוברת (64 עמודים, נתניה התשמ"ו) סיכומים מהספר הנ"ל והיא מיועדת בעיקר למרצים שרוצים לתת בידי התלמידים כלי עזר שימושי בלוח העברי. אם ברשותך המהדורה החדשה של הספר שערים, אין לך צורך בחוברת (מחיר החוברת, בכריכה קשה ב-25 ₪, ובכריכה רכה 20 ₪. מרצים יוכלו לרכוש 8 חוברות בכריכה רכה ב-100 ₪. המחירים כוללים משלוח). לפרטים אפשר לפנות לדוא"ל הנ"ל.

[4]אריאל כהן, "מחזור תאריכי הלוח העברי מול הלוח הגריגוריאני, והתלכדות תאריכי החודש והיום בשבוע בשני הלוחות". ב"צ כץ, "עיון בשנים זהות בלוח העברי ובלוח הגריגוריאני" (באנגלית).

[5]צבי הירש יפה, קורות חשבון העבור, ירושלים התרצ"א. ההצעה המדוברת מובאת שם בסוף פרק יט, עמ' קיט-קכ.